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Jeff Tupper es un tipo muy conocido en los ambientes matemáticos por la fórmula que publicó en un artículo por allá en el 2001. Ciertamente Jeff tuvo que tener mucho tiempo para llegar a la famosa, curiosa y mu peculiar Fórmula autorreferente de Tupper:

Donde los semicorchetes representan la función parte entera y ‘mod’ es la función módulo, es decir, mod(a,b) es el resto de la a/b. Hasta este punto no hay nada raro, lo interesante es cuanto se dibuja la función tomando los siguientes intervalos:

— Para x entre 0 y 105
— Para y entre n y n+16, siendo n el meganúmero de 543 cifras:

96093937991895888497167296212785275471500433966012930665150551927
17028023952664246896428421743507181212671537827706233559932372808
74144307891325963941337723487857735749823926629715517173716995165
23289053822161240323885586618401323558513604882869333790249145422
92886670810961844960917051834540678277315517054053816273809676025
65625016981482083418783163849115590225610003652351370343874461848
37873723819822484986346503315941005497470059313833922649724946175
15457283667023697454610146559979337985374831437868418065934222278
98388722980000748404719

El resultado es realmente sorprendente, extraordinario, impresionante, etc. La gráfica resultante es la siguiente:

Palabras mas, palabras menos: la representación gráfica de los puntos que cumplen la ecuación estre esos valores es la propia inecuación. O escrito de otra forma: el resultado de emplear ese par de intervalos, cuidadosamente seleccionados, es un dibujo de la propia fórmula. He acá la definición de autorreferente.

El secreto para quien le interese: las 543 cifras decimales del número n permiten codificar unos 1.810 bits de información binaria (a razón de unos diez bits cada tres dígitos decimales, más o menos). El «mosaico» donde aparece mágicamente el resultado de la fórmula tiene una superficie de unos 106×17 bits = 1.802 bits, un poco menos. De modo que toda esa información binaria «cabe» en un número decimal que convenientemente «dividido» (véanse las divisiones y módulos 17 en un par de lugares de la fórmula original) dibujan fielmente bit a bit el resultado original.

Como era de esperarse, existe una implementación en Javascript donde se puede apreciar la representación gráfica de la fórmula. El resultado es el siguiente:

Un pangrama (del griego: παν γραμμα, «todas las letras») o frase holoalfabética es un texto que usa todas las letras posibles del alfabeto de un idioma. Los pangramas más llamativos son por lo general los que usan el menor número de letras; construir un pangrama que repita letras lo menos posible puede llegara a ser una tarea desafiante. Sin embargo, los pangramas que son largos, extremadamente adornados, cómicos o excéntricos son igualmente llamativos. Algunos ejemplos:

Quiere la boca exhausta vid, kiwi, piña y fugaz jamón. 42 letras Fabio me exige, sin tapujos, que añada cerveza al whisky. 45 letras David exige plazo fijo embarque truchas y niños New York. 47 letras Jovencillo emponzoñado de whisky, qué mala figurota exhibes. 50 letras

El pangrama más conocido en el idioma español es: “El veloz murciélago hindú comía feliz cardillo y kiwi. La cigüeña tocaba el saxofón detrás del palenque de paja“. Frecuentemente este pangrama es usado para mostrar las fuentes de un sistema operativo. Se pueden encontrar mas ejemplos, inclusive en otros idiomas, en la Wikipedia.

Ahora para hacer mas interesante el asunto e incluir el tema de este post, acá tenemos un panagrama autorreferente:

Este pangrama tiene dieciséis a, una b, quince c, once d, dieciocho e, una f, dos g, dos h, trece i, una j, una k, una l, dos m, dieciséis n, una ñ, catorce o, dos p, dos q, cinco r, catorce s, seis t, doce u, una v, una w, una x, dos y y una z.

Para asombrarse con este pangrama autorreferente solo basta comprobar que es cierto lo que afirma, contando las letras.

Por último tenemos dos de esas imágenes cotidianas que son autorreferentes y bien curiosas por lo paradójico significado que poseen

La primera imagen es una señal que advierte sobre el peligro de chocar con la cabeza con la misma señal.

Clic para ver un acercamiento de la imagen

La segunda imagen es simplemente fenomenal:

Clic para ver otro ejemplo